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设关于x的函数y=-2sin2x-2asinx-(2a+1)的最大值为f(a)
(1)求f(a)的表达式
(2)确定使f(a)=5的a的值,并对此时的a,求y的最小值.
分析:(1)由已知中函数y=-2sin2x-2asinx-(2a+1)的最大值为f(a),利用换元法我们令t=sinx,(-1≤t≤1),结合二次函数在定区间上的最值问题的处理方法,即可得到f(a)的表达式.
(2)由(1)中f(a)的表达式,我们分别讨论使f(a)=5的a的值,并根据分类标准进行取舍,最后综合讨论结果即可得到f(a)=5的a的值,进而求出对应的y的最小值.
解答:解:(1)y=-2sin2x-2asinx-(2a+1)=-2(sinx+
a
2
2+
a2
2
-(2a+1)
令t=sinx,(-1≤t≤1)
当-
a
2
<-1,即a>2时,
f(a)=-3
当-1≤-
a
2
≤1,即-2≤a≤2时,
f(a)=
a2
2
-2a-1
当-
a
2
>1,即a<-2时
f(a)=-4a-3
∴f(a)=
-3,a>2
a2
2
-2a-1,-2≤a≤2
-4a-3,a<-2

(2)当a>2时,f(a)=-3≠5
当-2≤a≤2时,f(a)=
a2
2
-2a-1=5
解得a=-2,或a=6(舍去)
当a<-2时,f(a)=-4a-3=5
则a=-2(舍去)
综上所述a=-2
此时,y=-2(t-1)2+5,(-1≤t≤1)
当t=-1时,y取最小值-3
点评:本题考查的知识点是三角函数的最值,其中利用换元法,将问题转化为二次函数在定区间上的最值问题,是解答本题的关键.
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