Question

设关于x的函数y=-2sin²x-2asinx-（2a+1）的最大值为f（a）
（1）求f（a）的表达式
（2）确定使f（a）=5的a的值，并对此时的a，求y的最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数y=-2sin²x-2asinx-（2a+1）的最大值为f（a），利用换元法我们令t=sinx，（-1≤t≤1），结合二次函数在定区间上的最值问题的处理方法，即可得到f（a）的表达式．
（2）由（1）中f（a）的表达式，我们分别讨论使f（a）=5的a的值，并根据分类标准进行取舍，最后综合讨论结果即可得到f（a）=5的a的值，进而求出对应的y的最小值．

解答：解：（1）y=-2sin²x-2asinx-（2a+1）=-2（sinx+

a

2

）²+

a2

2

-（2a+1）
令t=sinx，（-1≤t≤1）
当-

a

2

＜-1，即a＞2时，
f（a）=-3
当-1≤-

a

2

≤1，即-2≤a≤2时，
f（a）=

a2

2

-2a-1
当-

a

2

＞1，即a＜-2时
f（a）=-4a-3
∴f（a）=

-3，a＞2 a2 2 -2a-1，-2≤a≤2 -4a-3，a＜-2

（2）当a＞2时，f（a）=-3≠5
当-2≤a≤2时，f（a）=

a2

2

-2a-1=5
解得a=-2，或a=6（舍去）
当a＜-2时，f（a）=-4a-3=5
则a=-2（舍去）
综上所述a=-2
此时，y=-2（t-1）²+5，（-1≤t≤1）
当t=-1时，y取最小值-3

点评：本题考查的知识点是三角函数的最值，其中利用换元法，将问题转化为二次函数在定区间上的最值问题，是解答本题的关键．