Question

已知F₁，F₂是椭圆+=1（a＞b＞0）的两个焦点，O为坐标原点，点P（-1，）在椭圆上，且•=0，⊙O是以F₁F₂为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O相切，并且与椭圆交于不同的两点A，B
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当•=λ，且满足≤λ≤时，求弦长|AB|的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意，易得PF₁⊥F₁F₂，进而可得c=1，根据椭圆的方程与性质可得+=1，a²=b²+c²，联立解可得a²、b²、c²的值，即可得答案；
（2）根据题意，直线l与⊙x²+y²=1相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径1，即=1，变形为m²=k²+1，联立椭圆与直线的方程，即，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，设由直线l与椭圆交于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则△＞0，解可得k≠0，可得x₁+x₂=-，x₁•x₂=-，进而将其代入y₁•y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）可得y₁•y₂关于k的表达式，又由=x₁•x₂+y₁•y₂==，结合题意≤λ≤，解可得≤k²≤1，根据弦长公式可得|AB|=2，设u=k⁴+k²（≤k²≤1），则≤u≤2，将|AB|用u表示出来，由u[，2]分析易得答案．
解答：解：（1）依题意，由•=0，可得PF₁⊥F₁F₂，
∴c=1，
将点p坐标代入椭圆方程可得+=1，又由a²=b²+c²，
解得a²=2，b²=1，c²=1，
∴椭圆的方程为+y²=1．
（2）直线l：y=kx+m与⊙x²+y²=1相切，则=1，即m²=k²+1，
由直线l与椭圆交于不同的两点A、B，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
△=（4km）²-4×（1+2k²）（2m²-2）＞0，化简可得2k²＞1+m²，
x₁+x₂=-，x₁•x₂=-，
y₁•y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁•x₂+km（x₁+x₂）+m²==，
=x₁•x₂+y₁•y₂==，
≤≤，解可得≤k²≤1，（9分）
|AB|==2
设u=k⁴+k²（≤k²≤1），
则≤u≤2，|AB|=2=2，u[，2]
分析易得，≤|AB|≤．（13分）
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，解此类题目，一般要联系直线与圆锥曲线的方程，得到一元二次方程，利用根与系数的关系来求解．