Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 满足Sn= an﹣n（t＞0且t≠1，n∈N*）
（1）证明：数列{an+1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式（用t，n表示）
（2）当t=2时，令cn= ，证明 ≤c1+c2+c3+…+cn＜1．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn= an﹣n（t＞0且t≠1，n∈N*），

∴由题意当n=1时，a1=t﹣1，

∵Sn= an﹣n，①

∴Sn+1= an+1﹣（n+1），②

②﹣①得an+1=tan+t﹣1，即an+1+1=t（an+1），

∴{an+1}是以t为首项，以t为公比的等比数列

∴数列{an}的通项公式

（2）证明： = =

令Tn=c1+c2+c3+…+cn，

则Tn=（1﹣ ）+（ ）+（ ）+…+（ ）=1﹣ ．

∵Tn单调递增，∴当n=1时，（Tn）min= ，当n趋向无穷大时，Tn趋近1．

∴ ≤c1+c2+c3+…+cn＜1

【解析】（1）当n=1时，a1=t﹣1，an+1+1=t（an+1），由此能证明{an+1}是以t为首项，以t为公比的等比数列，并能求出数列{an}的通项公式．（2） = ，利用裂项求和法求出Tn=c1+c2+c3+…+cn=1﹣ ，由此能证明 ≤c1+c2+c3+…+cn＜1．
【考点精析】通过灵活运用等比数列的通项公式（及其变式），掌握通项公式：即可以解答此题．