Question

已知数列{a_n}满足：a1=3，an=3an-1(n≥2)．
（1）求证：?n∈N^*，?m_n∈N，使a_n=4m_n+3；
（2）求a₂₀₁₀的末位数字．

Answer 1

分析：（1）结合题设条件，利用数学归纳法进行证明．
（2）由an+1=3an=34mn+3=(81)mk×27．知a₂₀₁₀的末位数字是7．

解答：解：（1）当n=1时，a₁=3，
假设n=k时，a_k=4m_k+3，m_k∈N．
当n=k+1时，ak+1=3ak=34mk+3=(4-1)4mk+3=

C

0 4mk+3

44mk+3•(-1)0+

C

1 4mk+3

•44mk+2•(-1)1++

C	4mk+2 4mk+3

•41•(-1)4mk+2+

C	4mk+3 4mk+3

•40•(-1)4mk+3
=4T-1=4（T-1）+3，
其中T=

C

0 4mk+3

44mk+2•(-1)0+

C

1 4mk+3

•44mk+1•(-1)1++

C	4mk+2 4mk+3

•(-1)4mk+2∈N*
∴?m_k+1=T-1∈N，使a_k+1=4m_k+1+3．
∴当n=k+1时，结论也成立．
∴?n∈N^*，?m_n∈N，使a_n=4m_n+3；（7分）
（2）an+1=3an=34mn+3=(81)mk×27．
故a₂₀₁₀的末位数字是7．（10分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意数学归纳法的解题步骤．