Question

（2010•合肥模拟）设函数f(x)=px-

p

x

-mlnx．
（1）当p=2且m=5时，求函数f（x）在（1，+∞）的极值；
（1）若m=2且f（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先利用基本函数的导数公式计算函数f（x）的导函数f′（x），再解不等式f'（x）＜0和f'（x）＞0得函数的单调区间，最后由极值定义确定函数f（x）在（1，+∞）的极值
（2）先将f（x）在其定义域内为单调函数转化为恒成立问题，即导函数f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立或f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，最后求并集即可

解答：解：f′(x)=p+

p

x2

-

m

x

=

px2-mx+p

x2

（1）当p=2且m=5时，f′(x)=

2x2-5x+2

x2

=

(2x-1)(x-2)

x2

，
∴当x∈（1，2）时，f'（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0
即f（x）在（1，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数
∴f（x）在x=2处取得极小值，
∴函数f(x)极小值=f(2)=2e-

2

e

-5ln2；
（2）∵m=2，∴f′(x)=

px2-2x+p

x2

  （x＞0）
令h（x）=px²-2x+p，要使f（x）在其定义域（0，+∞）内是单调函数，只需h（x）在（0，+∞）内满足：h（x）≥0或h（x）≤0恒成立．
①当p=0时，h（x）=-2x，
∵x＞0，∴h（x）＜0，∴f/(x)=-

2

x

＜0，
∴f（x）在（0，+∞）内是单调递减函数，
即p=0适合题意；
②当p＞0时，h（x）=px²-2x+p，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=

1

p

∈（0，+∞），
∴h（x）min=p-

1

p

，
只需p-

1

p

≥0，即p≥1时h（x）≥0，f′（x）≥0，
∴f（x）在（0，+∞）内为单调递增函数，
故p≥1适合题意．
③当p＜0时，h（x）=px²-2x+p，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为x=

1

p

∉（0，+∞），
只要h（0）≤0，
即p≤0时，h（x）≤0在（0，+∞）恒成立，
∴p＜0适合题意．
综上所述，p的取值范围为p≥1或p≤0．

点评：本题考查了极值的意义，导数在求函数极值问题中的应用，导数在函数单调性中的应用，不等式恒成立问题的解法