Question

14．函数f（x）=（|x|-1）（x+a）为奇函数，则a=0，f（x）减区间为$[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$．

Answer 1

分析 根据题意求出函数的定义域，利用奇函数的结论：f（0）=0，列出方程求出a的值，再化简函数解析式，由二次函数的图象画出函数的图象，再求出函数的减区间．

解答 解：因为f（x）的定义域是R，且f（x）是奇函数，所以f（0）=0，
则f（0）=（0-1）（0+a）=-a=0，解得a=0，
所以f（x）=x（|x|-1）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x，x≥0}\\{-{x}^{2}-x，x＜0}\end{array}\right.$，
在坐标系中画出函数的图象：
由图可得，函数f（x）的减区间是$[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$，
故答案为：0；$[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$．

点评 本题考查奇函数的结论：f（0）=0的应用，以及分段函数的单调性，注意奇函数在原点有意义才能用此结论，属于基础题．