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如图,在正三棱柱中,AB=2,AA1=2由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线与棱AA1的交点记为M,求:
(1)该最短路线的长及
A1MAM
的值.
(2)平面C1MB与平面ABC所成二面角(锐角)
分析:(1)将侧面AA1B1B绕棱AA1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上,点B运动到点D的位置,连接DC1交AA1于M,则DC1就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线,求出DC1
A1M
AM
的值即可;
(2)连接DB,C1B,可证∠C1BC就是平面C1MB与平面ABC所成二面角的平面角,在三角形C1BC中求出此角.
解答:解:(1)如图,将侧面AA1B1B绕棱AA1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上,点B运动到点D的位置,连接DC1交AA1于M,
则DC1就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线,
其长为
DC2+CC12
=
42+22
=2
5

∵△DMA≌△C1MA1
∴AM=A1M
A1M
AM
=1

(2)连接DB,C1B,
则DB就是平面C1MB与平面ABC的交线在△DCB中,
∵∠DBC=∠CBA+∠ABD=60°+30°=90°,
∴CB⊥DB,
又C1C⊥平面CBD,
由三垂线定理得C1B⊥DB,∴∠C1BC就是平面C1MB与平面ABC所成二面角的平面角(锐角),
∵侧面C1B1BC是正方形,∴∠C1BC=45°,
故平面C1MB与平面ABC所成的二面角(锐角)为45°.
点评:本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.
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