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定义:F(x,y)=yx(x>0,y>0)
(1)解关于x的不等式F(1,x2)+F(2,x)≤3x-1;
(2)记f(x)=3•F(1,x),设Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+f(
3
n
)+…+f(
n
n
)
,若不等式
an
Sn
an+1
Sn+1
对n∈N*恒成立,求实数a的取值范围;
(3)记g(x)=F(x,2),正项数列an满足:a1=3,g(an+1)=8an,求数列an的通项公式,并求所有可能的乘积ai•aj(1≤i≤j≤n)的和.
分析:(1)有定义:F(x,y)=yx(x>0,y>0)先把关于x的不等式F(1,x2)+F(2,x)≤3x-1?x2+x2≤3x-1,然后求解一元二次不等式即可;
(2)有f(x)=3•F(1,x)得到f(x)的解析式,进而求得Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+f(
3
n
)+…+f(
n
n
)
,然后利用不等式
an
Sn
an+1
Sn+1
对n∈N*恒成立求解即可;
(3)有g(x)=F(x,2),且正项数列an满足:a1=3,g(an+1)=8an,求出数列an的通项公式,即可.
解答:解:(1)有定义:F(x,y)=yx(x>0,y>0)得到:不等式F(1,x2)+F(2,x)≤3x-1?x2+x2≤3x-1?
1
2
≤x≤1

(2)有f(x)=3•F(1,x)得到f(x)=3x∴Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)=3
(
1
n
+
2
n
+…+
n
n
 )
=
3
2
(n+1)

an
Sn
-
an+1
Sn+1
=
an
3
2
(n+1)
-
an=1
3
2
(n+2)
=
2
3
an(
1
n+1
-
a
n+2
)<0
对n∈N*恒成立,
当a>0时,an>0,∴
1
n+1
-
a
n+2
<0
对n∈N*恒成立?a>
n+2
n+1
=1+
1
n+1
对n∈N*恒成立,易知(
n+2
n+1
)
max
=
3
2
,∴a>
3
2

(3)∵g(x)=F(x,2),∴g(x)=2x,又正项数列an满足:a1=3,g(an+1)=8an,∴2an+1=8an?an+1=3an又a1=3
∴an=3n?ai•aj=3i+j(o≤i≤j≤n),
将所得的积排成如下矩阵A=
.
31+131+231+331+4,…,31+n
 32+232+332+4,…,32+n
  33+333+4,…,33+n•
    
    3n+n
.
,设该矩阵的各项和为S,由在矩阵的空格处填上相应的数可以得:
矩阵B=
.
31+131+231+331+4,…31+n
32+132+232+332+4,…32+n
33+133+233+333+4,…33+n
…   …
3n+13n+23n+33n+4,…3n+n
.

在矩阵B中第一行的所有数的和为S1=32+33+…+3n+1=
1
2
(3n+1-9)

  在矩阵B中第二行的所有数的和为 S2=33+34+…+3n+2=
3
2
(3n+2-9)

点评:此题考查了一元二次不等式的求解,还考查了作差及不等式的恒成立及等比数列的求和.
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F(n,2)
F(2,n)
(n∈N+),若对任意正整数n,都有an≥ak(k∈N*成立,则ak的值为(  )

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anan+1
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(3)当x,y∈N*,且x<y时,证明F(x,y)>F(y,x).

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