Question

已知椭圆的方程为，点的坐标满足过点的直线与椭圆交于、两点，点为线段的中点，求：

                          

（1）点的轨迹方程；

（2）点的轨迹与坐标轴的交点的个数．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）当a=0，b=0，即点P（a，b）为原点时，（a，0）、（0，b）与（0，0）重点，曲线L与坐标轴只有一个交点（0，0）

当a=0且，即点P（a，b）不在椭圆C外且在除去原点的y轴上时，点（a，0）与（0，0）重合，曲线L与坐标轴有两个交点（0，b）与（0，0）

同理，当b=0且，即点P（a，b）不在椭圆C外且在除去原点的x轴上时，曲线L与坐标轴有两个交点（a，0）与（0，0）

当且，即点P（a，b）在椭圆C内且不在坐标轴上时，曲线L与坐标轴有三个交点（a，0）、（0，b）与（0，0）

解析:

（1）设点、的坐标分别为、，点的坐标为．当时，设直线的斜率为，则的方程为

由已知          （1）

      （2）

由（1）得

，  （3）

由（2）得

，              （4）

由（3）、（4）及，，，

得点Q的坐标满足方程

                      （5）

当时，k不存在，此时l平行于y轴，因此AB的中点Q一定落在x轴上，即Q的坐标为（a，0）显然点Q的坐标满足方程（5）

综上所述，点Q的坐标满足方程

设方程（5）所表示的曲线为L，

则由

得

因为，由已知，

所以当时，△=0，曲线L与椭圆C有且只有一个交点P（a，b）

当时，△＜0，曲线L与椭圆C没有交点

因为（0，0）在椭圆C内，又在曲线L上，所以曲线L在椭圆C内

故点Q的轨迹方程为

（2）由 解得曲线L与y轴交于点（0，0），（0，b）

由 解得曲线L与x轴交于点（0，0），（a，0）

当a=0，b=0，即点P（a，b）为原点时，（a，0）、（0，b）与（0，0）重点，曲线L与坐标轴只有一个交点（0，0）

当a=0且，即点P（a，b）不在椭圆C外且在除去原点的y轴上时，点（a，0）与（0，0）重合，曲线L与坐标轴有两个交点（0，b）与（0，0）

同理，当b=0且，即点P（a，b）不在椭圆C外且在除去原点的x轴上时，曲线L与坐标轴有两个交点（a，0）与（0，0）

当且，即点P（a，b）在椭圆C内且不在坐标轴上时，曲线L与坐标轴有三个交点（a，0）、（0，b）与（0，0）