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    已知椭圆的方程为，点的坐标满足过点的直线与椭圆交于、两点，点为线段的中点，求：

                              

    （1）点的轨迹方程；

    （2）点的轨迹与坐标轴的交点的个数．

    （Ⅰ）（Ⅱ）当a=0，b=0，即点P（a，b）为原点时，（a，0）、（0，b）与（0，0）重点，曲线L与坐标轴只有一个交点（0，0）

    当a=0且，即点P（a，b）不在椭圆C外且在除去原点的y轴上时，点（a，0）与（0，0）重合，曲线L与坐标轴有两个交点（0，b）与（0，0）

    同理，当b=0且，即点P（a，b）不在椭圆C外且在除去原点的x轴上时，曲线L与坐标轴有两个交点（a，0）与（0，0）

    当且，即点P（a，b）在椭圆C内且不在坐标轴上时，曲线L与坐标轴有三个交点（a，0）、（0，b）与（0，0）


    解析:

    （1）设点、的坐标分别为、，点的坐标为．当时，设直线的斜率为，则的方程为

    由已知          （1）

          （2）

    由（1）得

    ，  （3）

    由（2）得

    ，              （4）

    由（3）、（4）及，，，

    得点Q的坐标满足方程

                          （5）

    当时，k不存在，此时l平行于y轴，因此AB的中点Q一定落在x轴上，即Q的坐标为（a，0）显然点Q的坐标满足方程（5）

    综上所述，点Q的坐标满足方程

    设方程（5）所表示的曲线为L，

    则由

    得

    因为，由已知，

    所以当时，△=0，曲线L与椭圆C有且只有一个交点P（a，b）

    当时，△＜0，曲线L与椭圆C没有交点

    因为（0，0）在椭圆C内，又在曲线L上，所以曲线L在椭圆C内

    故点Q的轨迹方程为

    （2）由 解得曲线L与y轴交于点（0，0），（0，b）

    由 解得曲线L与x轴交于点（0，0），（a，0）

    当a=0，b=0，即点P（a，b）为原点时，（a，0）、（0，b）与（0，0）重点，曲线L与坐标轴只有一个交点（0，0）

    当a=0且，即点P（a，b）不在椭圆C外且在除去原点的y轴上时，点（a，0）与（0，0）重合，曲线L与坐标轴有两个交点（0，b）与（0，0）

    同理，当b=0且，即点P（a，b）不在椭圆C外且在除去原点的x轴上时，曲线L与坐标轴有两个交点（a，0）与（0，0）

    当且，即点P（a，b）在椭圆C内且不在坐标轴上时，曲线L与坐标轴有三个交点（a，0）、（0，b）与（0，0）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆的方程为，点P的坐标为（-a，b）.

    （1）若直角坐标平面上的点M、A(0,-b)，B(a，0)满足,求点的坐标；

    （2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：为的中点；

    （3）对于椭圆上的点Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果椭圆上存在不同的两个交点、满足,写出求作点、的步骤，并求出使、存在的θ的取值范围.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.

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    科目：高中数学 来源：2014届山东省聊城市高二第四次模块检测理科数学卷（解析版） 题型：解答题

    已知椭圆的方程为，点P的坐标为（-a，b）.

    （1）若直角坐标平面上的点M、A(0,-b)，B(a，0)满足,求点的坐标；

    （2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：为的中点；

    （3）对于椭圆上的点Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果椭圆上存在不同的两个交点、满足,写出求作点、的步骤，并求出使、存在的θ的取值范围.

     

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