Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，已知，数列{b_n}满足且b₂=4，b₅=32．
（1）分别求出数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}满足，求数列{c_n}的前n项和T_n；
（3）设，当n为奇数时，试判断方程T_n-P=2013是否有解，若有请求出方程的解，若没有，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用数列和与通项的关系，可求数列{a_n}的通项公式；确定{b_n}为等比数列，可得数列{b_n}的通项公式；
（2）分n为偶数与奇数，利用分组求和法，分别求和，可得结论；
（3）确定n≥5时，f（n）=T_n-P单调递增，计算相应函数值，可得结论．
解答：解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2，
当n≥2时，，所以a_n=n+1（n≥2）
又n=1时，n+1=2=a₁，所以…（2分）
因为，所以{b_n}为等比数列                              …（3分）
又b₂=4，b₅=32，所以公比为2，首项为2，所以…（4分）
（2）当n为偶数时，T_n=（a₁+a₃+…+a_n-1）+（b₂+b₄+…+b_n）
=…（6分）
当n为奇数时，n+1为偶数，
所以…（8分）
即…（9分）
（3）设…（10分）
∴…（11分）
∴当x≥5时，f（n+2）-f（n）=2ⁿ⁺¹-46＞0，此时f（n）单调递增．
又，，…（13分）
所以原方程无解．…（14分）
点评：本题考查数列的通项与求和，考查数列的单调性，考查学生分析解决问题的能力，掌握数列的求和方法是关键．