Question

过椭圆

x2

3

+

y2

2

=1的右焦点F作倾斜角为

π

4

的直线与椭圆交于M，N两点，O为坐标原点，则△OMN的面积为

2 6

5

．

Answer 1

分析：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则S=

1

2

|OF|•|y₁-y₂|．直线为y=x-1，代入椭圆方程，利用根与系数之间的关系得到|y₁-y₂|，由此能求出△OPQ的面积．

解答：解：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则S=

1

2

|OF|•|y₁-y₂|．
因为椭圆的右焦点F（1，0），过椭圆的右焦点F（1，0），倾斜角为

π

4

的直线方程为y=x-1，
即x=1+y，代入

x2

3

+

y2

2

=1得5y²+4y-4=0，∴y₁+y₂=-

4

5

，y₁y₂=-

4

5

，
∴|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

(- 4 5 )2-4×(- 4 5 )

=

4 6

5

，
所以S=

1

2

|OF|•|y₁-y₂|=

1

2

×1×

4 6

5

=

2 6

5

．
故答案为：

2 6

5

．

点评：在涉及焦点弦的问题时常需要把直线与抛物线方程联立利用韦达定理设而不求．考查学生的运算能力．