Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，D，E分别为BC，BB₁的中点，四边形B₁BCC₁是正方形。

（1）求证：A₁B∥平面AC₁D；
（2）求证：CE⊥平面AC₁D。

Answer 1

解：（1）连接A1C，与AC1交于O点，连接OD 因为O，D分别为A1C和B的中点， 所以OD∥A1B， 又OD平面AC1D，A1B平面AC1D， 所以A1B∥平面AC1D。
（Ⅱ）在直三棱柱ABC-A1B1C1中， BB1⊥平面ABC， 又AD平面ABC， 所以BB1⊥AD 因为AB=AC，D为BC中点， 所以AD⊥BC 又BC∩BB1=B， 所以AD⊥平面B1BCC1 又CE平面B1BCC1， 所以AD⊥CE 因为四边形B1BCC1为正方形，D，E分别为BC，BB1的中点， 所以Rt△CBE≌Rt△C1CD，∠CC1D=∠BCE 所以∠BCE+∠C1DC=90° 所以C1D⊥CE 又AD∩C1D=D， 所以CE⊥平面AC1D。