Question

一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁FG和外壁BC都是半径为1m的四分之一圆弧，AB、DC分别与圆弧BC相切于点B、C两点，，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m，

（1）若水平放置的木棒MN的两个端点M、N分别在外壁CD和AB上，且木棒与内壁圆弧相切于点P，设，试用表示木棒MN的长度；

（2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，则求木棒长度的最大值。

Answer 1

 (1)如图，设圆弧所在的圆的圆心为，过点作垂线，垂足为点，且交或其延长线与于，并连接，再过点作的垂线，垂足为．

在  中，因为，，

所以．

因为与圆弧切于点，所以，

在，因为，，

所以，，

①若在线段上，则，

在  中，，

因此.

②若在线段的延长线上，则，

在  中，，

因此.

．………………………………………………………8分

（2）设，则，

因此．因为，又，所以恒成立，

因此函数在是减函数，所以，

即．

答：一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为．

……………………………………………………16分