Question

9．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，焦距为2，O是坐标原点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线y=x+m交椭圆C于A、B两点，若以AB为直径的圆经过O点，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的半焦距为c，列出椭圆的离心率与焦距的方程，求解椭圆的距离，即可得到椭圆方程．
（2）联立直线与椭圆方程，设A（x₁，x₁+m）、B（x₂，x₂+m），利用判别式以及韦达定理，通过$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$
整合求解即可．

解答 解：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意得$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}}\\{2c=2}\end{array}⇒\left\{{\begin{array}{l}{a=\sqrt{6}}\\{c=1}\end{array}}\right.}\right.$，…（4分）
则$b=\sqrt{{a^2}-{c^2}}=\sqrt{5}$，故椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{5}=1$．…（5分）
（2）由$\left\{{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{5}=1}\end{array}⇒11{x^2}+12mx+6{m^2}-30=0}\right.$①…（6分）
依题意得①的△=（12m）²-4×11（6m²-30）＞0⇒m²＜11②…（7分）
设A（x₁，x₁+m）、B（x₂，x₂+m）由①得$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=-\frac{12m}{11}}\\{{x_1}{x_2}=\frac{{6{m^2}-30}}{11}}\end{array}}\right.$③…（8分）
以AB为直径的圆经过O点，则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$
即$（{x}_{1}，{x}_{1}+m）（{x}_{2}，{x}_{2}+m）=2{x}_{1}{x}_{2}+m（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}=0$…（10分）
将③代入上式得$\frac{{12{m^2}-60}}{11}-\frac{{12{m^2}}}{11}+{m^2}=0⇒{m^2}=\frac{60}{11}$，这个结果满足②式
故$m=±\frac{{2\sqrt{165}}}{11}$．                                         …（12分）

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力．