Question

已知ω＞0，向量

m

=（1，2cosωx），

n

=（

3

sin2ωx，-cosωx）．设函数f（x）=

m

•

n

，且f（x）图象上相邻的两条对称轴的距离是

π

2

．
（Ⅰ）求数ω的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[

π

4

，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据向量的数量积运算表示出函数f（x）的解析式，然后化简为y=Asin（ωx+ρ）+b的形式，再由两条对称轴的距离是

π

2

可求出最小正周期，进而可求出ω的值．
（Ⅱ）将ω的值代入到函数f（x）中确定解析式，根据x的范围求出2x-

π

6

的范围，再由正弦函数的最值可确定答案．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

m

•

n

=

3

sin2ωx-2cos²ωx
=

3

sin2ωx-cos2ωx-1=2sin(2ωx-

π

6

)-1．
∵f（x）的图象上相邻的两条对称轴的距离是

π

2

，
∴f（x）的周期为π，∴ω=1．

（Ⅱ）∵ω=1∴f(x)=2sin(2x-

π

6

)-1，
∵x∈[

π

4

，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]，
则当2x-

π

6

=

5π

6

，即x=

π

2

时，f（x）取得最小值0；
当2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

时，f（x）取得最大值1．

点评：本题主要考查向量的数量积运算和三角函数的最值．三角函数和向量的综合题是高考的重点，每年必考，要强化复习．