Question

函数y=2

1-x

+

2x+1

的最大值为

3

．

Answer 1

分析：由函数解析式求出函数的定义域，将函数变为y=2

1-x

+

2

x+ 1 2

，再利用柯西不等式，即可得到结论．

解答：解：由题意得，

1-x≥0 2x+1≥0

，解得-

1

2

≤x≤1，
则函数的定义域是[-

1

2

，1]，
由柯西不等式得，
y=2

1-x

+

2x+1

=2

1-x

+

2

x+ 1 2

≤

4×2

×

1-x+x+ 1 2

=3，
当且仅当2

1-x

=

2x+1

，即x=

1

2

时取到等号，
则当x=

1

2

时，函数的最大值是3，
故答案为：3．

点评：本题考查了柯西不等式求函数最值，关键是对所给函数解析式灵活变形，再应用柯西不等式，此类型是函数中两个根式变量的系数不互为相反数（互为相反数时可用基本不等式），但是符号相反，注意先求函数的定义域，验证等号成立的条件．