Question

已知各项都不相等的等数列{a_n}的前六项和为60，且a₆为a₁与a₂₁的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式及a_n及前n项和S_n；
（2）若数列{b_n}满足b_n+1-b_n=a_n（n∈N^*），且b₁=3，求数列{

1

bn

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由题意建立方程组，求得d和a₁，根据等差数列的通项公式和求和公式，分别求得a_n及前n项和S_n；
（2）由（1）中的a_n和S_n，根据迭代法得：b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…（b₂-b₁）+b₁，结合条件化简后求得b_n，再利用裂项法求得

1

bn

，代入前n项和T_n再相消后化简即可．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
则

6a1+15d=60， a1(a1+20d)=(a1+5d)2

，解得

d=2 a1=5

…（4分）
∴a_n=2n+3…（5分）
Sn=

n(5+2n+3)

2

=n(n+4)…（7分）
（2）由（1）得，a_n=2n+3，且S_n=n（n+4），
∵b_n+1-b_n=a_n，∴b_n-b_n-1=a_n-1=2n+1（n≥2，n∈N*）
当n≥2时，b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=a_n-1+a_n-2+…+a₁+b₁=S_n-1+b₁
=（n-1）（n-1+4）+3=n（n+2），
对b₁=3也适合，∴b_n=n（n+2）（n∈N*），
∴

1

bn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)…（11分）
则Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3n2+5n

4(n+1)(n+2)

…（12分）

点评：本题主要考查等差数列的通项公式和求和公式，以及迭代法求数列的通项，裂项法求和，注意由数列的通项公式的特点来确定数列求和的方法．