Question

已知各项都不相等的等差数列{a_n}的前6项和为60，且A₆为a₁和a₂₁的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和S_n；
（2）若数列{b_n}满足b_n+1-b_n=a_n（n∈N^*），且b₁=3，求数列{

1

bn-n

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，则结合等差数列的通项公式及等比数列的性质可建立关于a₁，d的方程，求方程可求a₁，d，然后代入等差数列的通项公式及求和公式即可求解
（2）由（1）可求b_n+1-b_n=2n+3，利用叠加法即可求解b_n，代入

1

bn-n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂项求和即可求解

解答：解：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，则

6a1+15d=60 (a1+5d)2=a1(a1+20d)

⇒

a1=5 d=2

⇒an=2n+3，（5分）Sn=

n(5+2n+3)

2

=n(n+4)，（7分）
（2）∵b_n+1-b_n=2n+3，
∴b₂-b₁=5
b3-b 2=7
…
b_n-b_n-1=2n+1
叠加得b_n-b₁=5+7+…+2n+1
∴b_n=3+5+…+2n+1=

3+2n+1

2

•n=n（n+2）（10分）
∴

1

bn-n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴Tn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n++1

∴Tn=1-

1

n+1

=

n

n+1

（13分）

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式、求和公式及等比数列的性质的应用，叠加法在数列的通项公式求解中的应用及裂项求和的应用，属于数列知识的综合应用