Question

20．已知△ABC的三个顶点的坐标为A（1，0），B（3，2），C（2，4）．求：
（1）点D的坐标，使四边形ABCD是平行四边形；
（2）点C关于直线AB对称点的坐标；
（3）△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用平行四边形的性质、中点坐标公式即可得出．
（2）利用垂直平分线的性质即可得出；
（3）利用两点之间的距离公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）设AC中点为M，则$M（\frac{3}{2}，2）$
由ABCD为平行四边形知M为BD中点，而B（3，2）
故D（0，2）．
（2）直线AB方程为y=x-1
过点C且与AB垂直的直线方程为y=-x+6，
由$\left\{\begin{array}{l}y=x-1\\ y=-x+6\end{array}\right.$，得交点E为$（{\frac{7}{2}，\frac{5}{2}}）$，
设点C关于直线AB的对称点为C′，
则E为C，C′的中点，故C′点坐标为（5，1）．
（3）$AB=\sqrt{{{（1-3）}^2}+{{（0-2）}^2}}=2\sqrt{2}$，
点C（2，4）到直线AB：x-y-1=0的距离为$d=\frac{|2-4-1|}{{\sqrt{2}}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\frac{{3\sqrt{2}}}{2}=3$．

点评 本题考查了平行四边形的性质、中点坐标公式、垂直平分线的性质、两点之间的距离公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．