Question

13．在数列{a_n}和{b_n}中，a_n=2n+3，b_n=$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$，则数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2n+5}$-$\sqrt{5}$）．

Answer 1

分析 通过a_n=2n+3、分母有理化可知b_n=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2n+5}$-$\sqrt{2n+3}$），并项相加即得结论．

解答 解：∵a_n=2n+3，
∴b_n=$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$
=$\frac{1}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n+5}}$
=$\frac{（\sqrt{2n+5}-\sqrt{2n+3}）}{（\sqrt{2n+5}+\sqrt{2n+3}）•（\sqrt{2n+5}-\sqrt{2n+3}）}$
=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2n+5}$-$\sqrt{2n+3}$），
∴S_n=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{7}$-$\sqrt{5}$+$\sqrt{9}-\sqrt{7}$+…+$\sqrt{2n+5}$-$\sqrt{2n+3}$）
=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2n+5}$-$\sqrt{5}$），
故答案为：$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2n+5}$-$\sqrt{5}$）．

点评 本题考查数列的求和，注意解题方法的积累，属于中档题．