Question

已知各项均为正整数的数列{a_n}满足a_n＜a_n+1，且存在正整数k（k＞1），使得a₁+a₂+…+a_k=a₁•a₂…a_k，a_n+k=k+a_n（n∈N^*）．
（1）当k=3，a₁a₂a₃=6时，求数列{a_n}的前36项的和S₃₆；
（2）求数列{a_n}的通项a_n；
（3）若数列{b_n}满足，且b₁=192，其前n项积为T_n，试问n为何值时，T_n取得最大值？

Answer 1

【答案】分析：（1）设c_n=a_3n-2+a_3n-1+a_3n，由a_n+3=3+a_n，得c_n+1=c_n+9，所以数列{c_n}是公差为9的等差数列，由此可求数列{a_n}的前36项的和S₃₆；
（2）确定a₁=1，a₂=2，a₃=3，且a_n+3=3+a_n，从而可求数列的通项；
（3）根据，可得，从而可得{b_2n}，{b_2n-1}都是以为公比的等比数列，由此可求数列{b_n}的通项，进一步确定n≥13，n为奇数时，|T₂|＜|T₄|＜…＜|T₁₂|，|T₁₂|＞|T₁₄|＞…；n为偶数时，|T₁|＜|T₃|＜…＜|T₁₃|，|T₁₃|＞|T₁₅|＞…，由此可得结论．
解答：解：（1）当k=3，a₁a₂a₃=6，则a₁+a₂+a₃=6．
设c_n=a_3n-2+a_3n-1+a_3n，由a_n+3=3+a_n，得c_n+1=c_n+9，所以数列{c_n}是公差为9的等差数列，
故．…（4分）
（2）若k=2时，a₁+a₂=a₁•a₂，又a₁＜a₂，
所以a₁•a₂＜2a₂，所以a₁=1，此时1+a₂=a₂，矛盾．  …（6分）
若k=3时，a₁+a₂+a₃=a₁•a₂•a₃，所以a₁•a₂•a₃＜3a₃，a₁•a₂＜3，
所以a₁=1，a₂=2，a₃=3，满足题意． …（8分）
若k≥4时，a₁+a₂+…+a_k=a₁•a₂•…•a_k，所以a₁•a₂•…•a_k＜ka_k，即a₁•a₂•…•a_k-1＜k，
又因为a₁•a₂•…•a_k-1＞1×2×…×（k-1）≥2k-2＞k，所以k≥4不满足题意．…（10分）
所以，a₁=1，a₂=2，a₃=3，且a_n+3=3+a_n，
所以a_3n-2=a₁+3（n-1）=3n-2，a_3n-1=a₂+3（n-1）=3n-1，a_3n=a₃+3（n-1）=3n，
故a_n=n．   …（12分）
（3）因为，所以
所以，所以{b_2n}，{b_2n-1}都是以为公比的等比数列，
所以b_n=   …（14分）
令|b_n•b_n+1|＜1，即，∴，
所以n≥13，n为奇数时，有|b₁•b₂|＞1，|b₃•b₄|＞1，…，|b₁₁•b₁₂|＞1，|b₁₃b₁₄|＜1，|b₁₅•b₁₆|＜1，
从而|T₂|＜|T₄|＜…＜|T₁₂|，|T₁₂|＞|T₁₄|＞…，
n为偶数时，有|b₂•b₃|＞1，|b₄•b₅|＞1，…，|b₁₂•b₁₃|＞1，|b₁₄•b₁₅|＜1，|b₁₆•b₁₇|＜1，
从而|T₁|＜|T₃|＜…＜|T₁₃|，|T₁₃|＞|T₁₅|＞…，
注意到T₁₂＞0，T₁₃＞0，且T₁₃=b₁₃•T₁₂=3T₁₂＞T₁₂，
所以数列{b_n}的前n项积T_n最大时n的值为13． …
点评：本题考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，确定数列的性质是关键．