Question

双曲线C与椭圆

x2

8

+

y2

4

=1有相同的焦点，直线y=

3

3

x为C的一条渐近线．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知点M（0，1），设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点，求

MP

•

MQ

的范围．

Answer 1

分析：（1）设双曲线方程为：

x2

a2

-

y2

b2

=1，由椭圆方程可得c=2，由条渐近线可得

b

a

=

3

3

，结合a²=b²+c²可得ab的值，可得方程；
（2）设P（x₀，y₀），则Q（-x₀，-y₀），可得

MP

与

MQ

的坐标，可得

MP

•

MQ

结合

x02

3

-y02=1可得关于x₀的二次函数，由x₀的范围可得．

解答：解：（1）设双曲线方程为：

x2

a2

-

y2

b2

=1  （a＞0，b＞0），
由椭圆

x2

8

+

y2

4

=1，求得两焦点（-2，0），（2，0），
∴对双曲线C，c=2，
又直线y=

3

3

x为C的一条渐近线，
∴

b

a

=

3

3

，
结合a²=b²+c²，
解得：a²=3，b²=1
∴双曲线C的方程为

x2

3

-y2=1；
（2）设P（x₀，y₀），则Q（-x₀，-y₀），
∴

MP

=（x₀，y₀-1），

MQ

=（-x₀，-y₀-1）
∴

MP

•

MQ

=-x02-y02+1，
又

x02

3

-y02=1，
∴

MP

•

MQ

=-x02-

x02

3

+2=-

4x02

3

+2，
又|x₀|≥

3

，∴x02≥3
∴

MP

•

MQ

=-

4x02

3

+2≤-4+2=-2
∴

MP

•

MQ

的范围是（-∞，-2]

点评：本题考查双曲线的标准方程，涉及向量数量积的运算，属中档题．