Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)与椭圆

x2

8

+

y2

4

=1有公共焦点，且以抛物线y²=2x的准线为双曲线C的一条准线．动直线l过双曲线C的右焦点F且与双曲线的右支交于P、Q两点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）无论直线l绕点F怎样转动，在双曲线C上是否总存在定点M，使MP⊥MQ恒成立？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）又椭圆

x2

8

+

y2

4

=1得焦点坐标，得出双曲线中c的值，再由抛物线y²=2x的准线为双曲线C的一条准线，得出双曲线中a的值，则b可求，双曲线C的方程可得．
（2）先假设存在定点M，使MP⊥MQ恒成立，设出M点坐标，根据MP⊥MQ，

MP

•

MQ

=0求P点坐标，如能求出，则P存在，求不出，则P不存在．

解答：解：（1）设F（c，0）（c＞0），则由题意有：

c2=8-4 a2 c = 1 2

∴c²=4，a²=1，b²=3
故双曲线C的方程为x2-

y2

3

=1，
（2：由（1）得点F为（2，0）
当直线l的斜率存在时，设直线方程y=k（x-2），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
将方程y=k（x-2）与双曲线方程联立消去y得：（k²-3）x²-4k²x+4k²+3=0，
∴

k2-3≠0 △＞0 x1+x2= 4k2 k2-3 ＞0 x1•x2= 4k2+3 k2-3 ＞0

解得k²＞3
假设双曲线C上存在定点M，使MP⊥MQ恒成立，设为M（m，n）
则：

MP

•

MQ

=(x1-m)(x2-m)+(y1-n)(y2-n)=（x₁-m）（x₂-m）+[k（x₁-2）-n][k（x₂-2）-n]
=（k²+1）x₁x₂-（2k²+kn+m）（x₁+x₂）+m²+4k²+4kn+n²=

(k2+1)(4k2+3)

k2-3

-

4(2k2+kn+m)k2

k2-3

+m2+4k2+4kn+n2=

(m2+n2-4m-5)k2-12nk-3(m2+n2-1)

k2-3

∵MP⊥MQ，∴

MP

•

MQ

=0，
故得：（m²+n²-4m-5）k²-12nk-3（m²+n²-1）=0对任意的k²＞3恒成立，
∴

m2+n2-4m-5=0 12n=0 m2+n2-1=0

，解得

m=-1 n=0

∴当点M为（-1，0）时，MP⊥MQ恒成立；
当直线l的斜率不存在时，由P（2，3），Q（2，-3）知点M（-1，0）使得MP⊥MQ也成立．
又因为点（-1，0）是双曲线C的左顶点，
所以双曲线C上存在定点M（-1，0），使MP⊥MQ恒成立．

点评：本题考查三种圆锥曲线的关系，以及存在性问题，综合性强，须认真审题．