Question

（2013•许昌三模）已知双曲线c：

x2

a

-

y2

b

=1（a＞．，b＞0）的半焦距为c，过左焦点且斜率为1的直线与双曲线C的左、右支各有一个交点，若抛物线y²=4cx的准线被双曲线截得的线段长大于

2 2

3

be²．（e为双曲线c的离心率），则e的取值范同是

（

2

，

3

）

．

Answer 1

分析：抛物线y²=4cx的准线正好经过双曲线C：

x2

a

-

y2

b

=1（a＞b＞0）的左焦点，准线被双曲线C截得的弦长为 2×

b2

a

，由2×

b2

a

＞

2 2

3

be²，得出a和c的关系，从而求出离心率的范围．

解答：解：∵抛物线y²=4cx的准线：x=-c，
它正好经过双曲线C：

x2

a

-

y2

b

=1（a＞b＞0）的左焦点，
∴准线被双曲线C截得的弦长为：2×

b2

a

，
∴2×

b2

a

＞

2 2

3

be²，即：

2

c²＜3ab，又c=

a2+b2

．
解得：e=

c

a

＜

3

，
又过焦点且斜率为1的直线与双曲线C的左右两支各有一个交点，
∴e＞

2

．
则e的取值范同是 （

2

，

3

）．
故答案为：（

2

，

3

）．

点评：本题考查直线方程、椭圆的方程、直线和椭圆的位置关系．由圆锥曲线的方程求焦点、离心率、双曲线的三参数的关系：c²=a²+b²注意双曲线与椭圆的区别．