Question

（2009•宁波模拟）已知双曲线

x2

a

-

y2

a2+a+1

=1的离心率的范围是数集M，设p：“k∈M”； q：“函数f（x）=

lg x-1 x-2   x＜1 2x-k       x≥1

的值域为R”．则P是Q成立的（　　）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：先求出双曲线的离心率，利用基本不等式可求其范围，从而可得数集M；先求分段函数的值域，从而利用充要条件的判断方法，即可判断．

解答：解：双曲线

x2

a

-

y2

a2+a+1

=1的离心率为

a2+2a+1

a

=

a+ 1 a +2

∵a＞0
∴

a+ 1 a +2

≥2
∴M=[2，+∞）
当x＜1时，f(x)=lg

x-1

x-2

=lg(1+

1

x-2

)，
∵x＜1，∴x-2＜-1，∴-1＜

1

x-2

＜0，
∴0＜1+

1

x-2

＜1，∴f（x）＜0
当x≥1时，f（x）=2x-k≥2-k
∴若k≥2，则f（x）的值域为R；
若f（x）的值域为R，则2-k≤0，∴k≥2，
∴P是Q的充要条件
故选C．

点评：本题以充要条件为载体，考查双曲线的离心率，考查分段函数的值域，解题的关键是求出相应的范围．