Question

（2009•宁波模拟）已直方程tan2x-

4 3

3

tanx+1=0在x∈[0，nπ），（n∈N^*）内所有根的和记为a_n
（1）写出a_n的表达式：（不要求严格的证明）  
（2）求S_n=a₁+a₂+…+a_n；
（3）设b_n=（kn-5）π，若对任何n∈N^*都有a_n≥b_n，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）通过方程的解，利用n=1，2，求出a₁，a₂，类比写出a_n的表达式．（不要求严格的证明）  
（2）利用拆项法直接通过公式法与等差数列求和，求S_n=a₁+a₂+…+a_n的值．
（3）设b_n=（kn-5）π，推出a_n≥b_n的表达式，利用分离变量，通过基本不等式判断函数的单调性，求出函数的最小值，即可求实数k的取值范围．

解答：解：（1）解方程得tanx=

3

或

3

3

（1分）
∴当n=1时，x=

π

3

或

π

6

，此时a1=

π

2

（2分）
当n=2时，x=

π

6

，

π

3

，

π

6

+π，

π

3

+π，
∴a2=

π

2

+(

π

2

+2π)（3分）
依此类推：an=

π

2

+(

π

2

+2π)+…+[

π

2

+2(n-1)π]
∴an=(n2-

n

2

)π（5分）
（2）Sn=(12+22+…+n2)π-

π

2

(1+2+…+n)
=

n(n+1)(2n+1)

6

π-

n(n+1)

4

π=

n(n+1)(4n-1)

12

π（9分）
（3）由a_n≥b_n得(n2-

n

2

)π≥(kn-5)π
∴kn≤n2-

n

2

+5
∵n∈N^*∴k≤n+

5

n

-

1

2

（11分）
设f(n)=n+

5

n

-

1

2

易证f（n）在(0，

5

)上单调递减，在（

5

，+∞）上单调递增．    （13分）
∵n∈N^*f(2)=4，f(3)=

25

6

∴n=2，f（n）_min=4
∴k≤4（15分）

点评：本题考查数列通项公式的猜想，数列求和的基本方法，恒成立问题的应用，函数的单调性的应用，考查转化思想，分析问题解决问题的能力．