Question

已知函数f（x）=

2x-2-x

2x+2-x

（1）判断该函数的奇偶性；
（2）判断该函数的单调性，不必证明；
（3）求该函数的值域．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数的值域,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可判断函数f（x）的奇偶性．
（2）根据指数函数的性质即可求函数f（x）的单调性
（3）根据指数函数性质即可求值域．

解答： 解：（1）函数的定义域为R，
则f（-x）=

2-x-2x

2-x+2x

=-

2x-2-x

2x+2-x

=-f（x），
即函数f（x）为奇函数．
（2）原函数化为：f（x）=

4x-1

4x+1

在（-∞，+∞）是一个增函数．
f（x）=

4x-1

4x+1

=

4x+1-2

4x+1

=1-

2

4x+1

，
在（-∞，+∞）上，4^x+1递增且函数值大于0，

2

4x+1

在（-∞，+∞）上是减函数，
故f（x）=1-

2

4x+1

，在（-∞，+∞）上是增函数．
（3）∵原函数化为：f（x）=

4x-1

4x+1

，
函数的解析式可以变为f（x）=

4x-1

4x+1

=

4x+1-2

4x+1

=1-

2

4x+1

，
由于4^x+1＞1，故0＜

1

4x+1

＜1
故0＜

2

4x+1

＜2，
-1＜1-

2

4x+1

＜1
∴f（x）的值域是（-1，1）
f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∵y=2^x为增函数，∴y=2^x+1为增函数，
则f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

为增函数，
由y=f（x）=

2x-1

2x+1

得（1-y）2^x=1+y，
当y=1时，不成立，则方程等价为2^x=

1+y

1-y

，
由2^x=

1+y

1-y

＞0，解得-1＜y＜1，
故函数的值域为（-1，1）．

点评：本题考查函数单调性的、奇偶性的判断与证明以及函数的值域的求法，求解此类题的关键是对函数性质的证明方法熟练掌握．