Question

（理）数列{a_n}满足a₁=1 且8a_n+1a_n-16a_n+1+2a_n+5=0（n≥1）记bn=

1

an- 1 2

(n≥1)
（1）求b₁，b₂，b₃，b₄的值．
（2）求{b_n}、{a_nb_n}的通项公式．
（3）求{a_nb_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由bn=

1

an- 1 2

得an=

1

bn

+

1

2

，代入8a_n+1a_n-16a_n+1+2a_n+5=0（n≥1），化简可得b_n+1=2b_n-

4

3

，通过变形可判断{bn-

4

3

}为等比数列，从而求得b_n，进而求得b₁，b₂，b₃，b₄的值；
（2）由（1）可知b_n，由an=

1

bn

+

1

2

可求得a_n，从而求得a_nb_n的表达式；
（3）利用分组求和法可求得前n项和S_n．

解答：解：（1）由bn=

1

an- 1 2

得an=

1

bn

+

1

2

，
代入8a_n+1a_n-16a_n+1+2a_n+5=0（n≥1），得8（

1

bn+1

+

1

2

）（

1

bn

+

1

2

）-16（

1

bn+1

+

1

2

）+2（

1

bn

+

1

2

）+5=0，
化简得b_n+1=2b_n-

4

3

，则b_n+1-

4

3

=2（bn-

4

3

），
所以{bn-

4

3

}为等比数列，其公比为2，首项为b1-

4

3

=

1

a1- 1 2

-

4

3

=

2

3

，
所以bn-

4

3

=

2

3

•2^n-1=

2n

3

，
所以b_n=

2n

3

+

4

3

，
所以b₁=

2

3

+

4

3

=2，b₂=

22

3

+

4

3

=

8

3

，b3=

23

3

+

4

3

=4，b4=

24

3

+

4

3

=

20

3

；
（2）由（1）求解过程可知b_n=

2n

3

+

4

3

，
则an=

1

bn

+

1

2

=

3

2n+4

+

1

2

，
所以a_nb_n=（

3

2n+4

+

1

2

）（

2n

3

+

4

3

）=1+

2n-1+2

3

=

5

3

+

2n-1

3

；
（3）S_n=（

5

3

+

1

3

）+（

5

3

+

2

3

）+…+（

5

3

+

2n-1

3

）=

5

3

n+

1 3 (1-2n)

1-2

=

5

3

n+

2n-1

3

．

点评：本题考查数列求和、等差等比数列的通项公式，考查学生的计算能力、分析解决问题的能力．