Question

如图，底面为正三角形，面， 面，，设为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

 

Answer 1

（1）祥见解析;(2）．

【解析】

试题分析：（1）过F作FH∥EA交AB于H，连接HC，由已知中EA⊥面ABC，DC⊥面ABC，我们根据线面垂直的性质可得EA∥DC∥FH，进而得到四边形CDFH是平行四边形，则DF∥HC，再由线面平行的判定定理即可得到DF∥平面ABC；

（2）由△ABC为正三角形，H为AB中点，EA⊥面ABC，利用等边三角形的性质及线面垂直的性质可得CH⊥AB，CH⊥EA，再由线面垂直的判定定理可得CH⊥面EAB，结合DF∥CH，可得DF⊥面EAB，则∠DAF为直线AD与平面AEB所成角，解RT△AFD即可得到直线AD与平面AEB所成角的正弦值．

试题解析：（1）证明：过作交于，连结，

平面，平面，

，又，

而是的中点，∴

所以四边形是平行四边形，，

又平面，平面，

平面． 4分

（2）为正三角形，为中点，，

面，面，，

面，面，

，面，

为在面上的射影，

所以为直线与平面所成角，

在中，，

所以直线与平面所成角的正弦值为． 10分

考点：1. 直线与平面平行的判定；2．直线与平面所成的角．