Question

将圆x²+y²=8上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到曲线C．设直线l与曲线C相交于A、B两点，且M，其中M是曲线C与y轴正半轴的交点．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）证明：直线l的纵截距为定值．

Answer 1

【答案】分析：（I）先设曲线C上任取一个动点P的坐标（x，y），然后根据题意（x，y）在圆x²+y²=8上，整理即可解出曲线C的方程．
（II）设出直线l的方程，与C的方程联立方程组，整理为一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得直线l的纵截距为定值，从而解决问题．
解答：解：（Ⅰ）设所求曲线C上的任一点坐标为（x，y），圆x²+y²=8上的对应点的坐标为（x'，y'），由题意可得，…（3分）
∵x'²+y'²=8，x²+2y²=8，即∴曲线C的方程为．              …（5分）
（Ⅱ）∵M（0，2），显然直线l与x轴不垂直，设直线l：y=kx+m，与椭圆C：相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-8=0，…（7分）
∴，…（8分）
∴（x₁，y₁-2）•（x₂，y₂-2）=0，…（10分）
即：x₁x₂+（y₁-2）（y₂-2）=0⇒x₁x₂+y₁y₂-2（y₁+y₂）+4=0，∴x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）-2（kx₁+m+kx₂+m）+4=0，
整理得：（k²+1）x₁x₂+k（m-2）（x₁+x₂）+（m-2）²=0，…（12分）
即，
∵m≠2，2（k²+1）（m+2）-4k²m+（2k²+1）（m-2）=0，
展开得：3m+2=0，∴，∴直线l的纵截距为定值．                    …（14分）
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，以及椭圆的方程问题．考查对知识的综合运用能力，需要用到一元二次方程的根的判别式．本题属于中档题．