Question

（2012•湖南模拟）已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的正数x，y都有f（x•y）=f（x）+f（y），若数列{a_n}的前n项和为s_n，且满足f(sn+2)-f(an)=f(3)(n∈N*)，则a_n为   （　　）

• A．2^n-1
• B．n
• C．2n-1
• D．(

  3

  2

  )n-1

Answer 1

分析：根据已知中对任意的正数x，y都有f（x•y）=f（x）+f（y），且数列{a_n}满足f(sn+2)-f(an)=f(3)(n∈N*)，可得数列{a_n}是一个以1为首项，以

3

2

为公比的等比数列，进而得到数列的通项公式．

解答：解：∵对任意的正数x，y都有f（x•y）=f（x）+f（y），
∵f(sn+2)-f(an)=f(3)(n∈N*)，
∴f（s_n+2）=f（3）+f（a_n）=f（3•a_n）
又∵函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
∴s_n+2=3a_n…①
当n=1时，s₁+2=a₁+2=3a₁，解得a_n=1
当n≥2时，s_n-1+2=3a_n-1…②
①-②得：a_n=3a_n-3a_n-1
即

an

an-1

=

3

2

∴数列{a_n}是一个以1为首项，以

3

2

为公比的等比数列
∴a_n=(

3

2

)n-1
故选D

点评：本题以抽象函数为载体考查了等比数列通项公式的求法，其中根据已知得到f（s_n+2）=f（3）+f（a_n）=f（3•a_n）是解答的关键．