Question

设{a_n}是公差d不为零的正项等差数列，S_n为其前n项的和，满足5S₃-6S₅=-105，a₂，a₅，a₁₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设c∈N，c≥2，令bn=|

an

2c-1

-1|，T_n为数列{b_n}的前n项的和，若T_2c≤6，求c的值．

Answer 1

分析：（1）根据等差数列求和公式分别表示出S₃和S₅，进而根据题设等式求得a₁和d的关系式，用等差数列的通项公式表示出a₂，a₅，a₁₄，根据等差数列等差中项的性质建立等式求得a₁和d的另一关系式，进而联立求得a₁和d的，则数列的通项公式可得．
（2）把（1）中求得的a_n代入求得b_n，进而求得n≤c和n≥c+1时b_n，进而利用等差数列和等比数列的求和公式求得前2c项的和，进而根据T_2c≤6，求得c的范围，进而根据c∈N进而求得c的值．

解答：解：（1）∵S_n=na₁+

n(n-1)d

2

，
∴S₅=5a₁+10d，S₃=3a₁+3d
∴5S₃-6S₅=-（15a₁+45d）=-105
∴a₁+3d=7①
又a₂，a₅，a₁₄成等比数列．
∴（a₅）²=a₂a₁₄，即（a₁+4d）2=（a₁+d）（a₁+13d）
∴d²=2a₁d，∵d≠0
∴d=2a₁，②
由①②得a₁=1，d=2
∴a_n=2n-1
（2）bn=|

an

2c-1

-1|=|

2(n-c)

2c-1

|=

2|n-c|

2c-1

当n≤c时，b_n=

2(c-n)

2c-1

，当n≥c+1时，b_n=

2(n-c)

2c-1

∴T_n=b₁+b₂+…+b_2c=（b₁+b₂+…+b_c）+（b_c+1+b_c+2+…+b_2c）=
=（

2(c-1)

2c-1

+

2(c-2)

2c-1

+…+

0

2c-1

）+（

2

2c-1

+

4

2c-1

+…+

2c

2c-1

）=

2c 2

2c-1

∵T_n≤6，∴

2c 2

2c-1

≤6，
∴c²-6c+3≤0，解得3-

6

≤c≤3+

6

∵c∈N，
∴c=2或c=3或c=4或c=5．

点评：本题主要考查了数列的求和问题．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．