Question

如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=5，AD=4，AA₁=3，AB⊥AD，∠A₁AB=∠A₁AD=

π

3

．
（Ⅰ）求证：顶点A₁在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上；
（Ⅱ）求这个平行六面体的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）如图利用Rt△A₁NA≌Rt△A₁MA证明A₁M=A₁N，OM=ON，即证明顶点A₁在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上；
（Ⅱ）求出底面ABCD的面积，和高A₁O，然后可求几何体的体积．

解答：解：（Ⅰ）证：连接A₁O，则A₁O⊥底面ABCD．
作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，连接A₁M，A₁N
由三垂线定理得A₁M⊥AB，A₁N⊥AD∵∠A₁AM=∠A₁AN，
∴Rt△A₁NA≌Rt△A₁MA∴A₁M=A₁N∴OM=ON．
∴点O在∠BAD的平分线上
（Ⅱ）∵AM=AA₁cos

π

3

=3•

1

2

=

3

2

，
∴AO=AMcsc

π

4

=

3

2

2

．
又在职Rt△AOA₁中，A₁O²=AA₁²-AO²=9-

9

2

=

9

2

，
∴A₁O=

3

2

2

．
∴平行六面体的体积V=5•4•

3

2

2

=30

2

．

点评：本题考查棱柱的体积，以及射影问题，考查学生逻辑思维能力，是基础题．