Question

A 任意a，b∈R，定义运算a*b=，则f（x）=x*lnx的最大值为________
B 对于函数①f（x）=4x+-5；②f（x）=|log₂x|-；③f（x）=cos（x+2）-cosx；
命题甲：f（x）在区间（1，2）上是增函数；
命题乙：f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x₁，x₂，且x₁x₂＜1．
能使命题甲、乙均为真命题的函数序号是________．

Answer 1

0    ①②
分析：A：函数f（x）的取值与自变量x与1的大小有关，且其定义域为（0，+∞），所以分别讨论x＞1和0＜x≤1时函数的取值范围，即可比较得函数f（x）的最大值；
B：函数①可利用导数证明其在（1，2）上是增函数，利用函数在（0，+∞）上的单调性和极值，可证明f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x₁，x₂，且两零点均在区间（0，1）上，从而符合条件；函数②可利用对数函数和指数函数的单调性判断其在（1，2）上是增函数，再利用数形结合判断f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x₁，x₂，并利用指数函数的单调性证明x₁x₂＜1．函数③显然不符合命题乙的要求
解答：A：当x＞1时，lnx＞0，f（x）=x*lnx=-＜0，
当0＜x≤1时，lnx≤0，f（x）=x*lnx=xlnx≤0 （当且仅当x=1时取等号）
∴f（x）=x*lnx的最大值为0
故答案为 0
B：①f′（x）=4-=
∴f（x）=4x+-5在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数
而f（）=2+2-5=-1＜0，f（）=+8-5＞0，f（1）=4+1-5=0，f（2）=8+-5＞0
∴函数f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x₁，x₂，且两根均在区间（0，1）上，
∴函数f（x）在区间（1，2）上是增函数且在区间（0，+∞）上恰有两个零点x₁，x₂，且x₁x₂＜1．①符合题意
②∵当x∈（1，2）时，log₂x＞0，
∴f（x）=log₂x-，y=log₂x和y=-在（1，2）上均为增函数，
∴函数f（x）在区间（1，2）上是增函数，
画出函数y=|log₂x|，和y=的图象如图：
可知f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x₁，x₂，且设x₁＜x₂，
∴|log₂x₁|＞|log₂x₂|，
∴-log₂x₁＞log₂x₂，
即log₂x₁+log₂x₂＜0，∴x₁x₂＜1
∴函数f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x₁，x₂，且x₁x₂＜1
②符合题意
③由于y=cos（x+2）与y=cosx在（0，+∞）上有无数个交点
f（x）=cos（x+2）-cosx在（0，+∞）上有无数个零点，
③不符合题意
故答案为①②
点评：本题综合考查了对新定义函数的理解和运用，分段函数求最值的方法，函数单调性的判断方法，函数零点个数的判断方法及其证明，有一定难度