Question

如图，l₁、l₂是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段.点A、B在l₁上，C在l₂上，AM=MB=MN.

(Ⅰ)证明AC⊥NB；

(Ⅱ)若∠ACB=60°,求NB与平面ABC所成角的余弦值.

Answer 1

解法一：（Ⅰ）由已知l₂⊥MN,l₂⊥l₁,MN∩l₁=M,可得l₂⊥平面ABN，由已知MN⊥l₁,AM=MB=MN,可知AN=NB且AN⊥NB，又AN为AC在平面ABN内的射影.

∴AC⊥NB.

（Ⅱ）∵Rt△CNA≌Rt△CNB.

∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此△ABC为正三角形.

∵Rt△ANB≌Rt△CNB.

NC=NA=NB,因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连结BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角.

    在Rt△NHB中，cos∠NBH===.

解法二：如图，建立空间直角坐标系M-xyz.令MN=1,则有A(-1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0).

(Ⅰ)∵MN是l₁,l₂的公垂线，l₂⊥l₁.∴l₂⊥平面ABN.∴l₂平行于z轴.

    故可设C（0，1，m）,于是=（1，1，m），=（1，-1，0）.

∵·=1+（-1）+0=0.

∴AC⊥NB.

(Ⅱ)∵=(1,1,m), =(-1,1,m),

∴||=||.

    又已知∠ACB=60°,∴△ABC为正三角形，AC=BC=AB=2.

    在Rt△CNB中，NB=，可得NC=，故C（0，1，）.

    连结MC，作MH⊥MC于H，设H（0，λ,λ）(λ＞0),

∴=(0,1-λ,-λ),=(0,1,).

∵·=1-λ-2λ=0,

∴λ=,

H(0,,),可得=(0,,-),连结BH，则=(-1,,).

∴·=0+-=0,∴⊥,又MC∩BH=H,

∴HN⊥平面ABC，∠NBH为NB与平面ABC所成的角.

    又=(-1,1,0),

cos∠NBH===.