Question

如图，l₁、l₂是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段.点A、B在l₁上，C在l₂上，AM=MB=MN.

（1）证明AC⊥NB；

（2）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值.

Answer 1

（1）证明：由已知l₂⊥MN,l₂⊥l₁,MN∩l₁=M,可得l₂⊥平面ABN.

由已知MN⊥l₁,AM=MB=MN,可知AN=NB且AN⊥NB.

又AN为AC在平面ABN内的射影.

∴AC⊥NB.

（2）解：∵Rt△CNA≌Rt△CNB,∴AC=BC.

又已知∠ACB=60°,因此△ABC为正三角形.

∵Rt△ANB≌Rt△CNB,

∴NC=NA=NB.

因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心,连结BH,∠NBH为NB与平面ABC所成的角.

在Rt△NHB中,cos∠NBH=.