Question

某乡有A、B、C、D四个村庄,恰好座落在边长为2 km的正方形顶点上,为发展经济,当地政府决定建立一个使得任何两个村庄都有通道的路网,道路网由一条中心道及四条支线组成,要求四条支道的长度相等.(如图所示)

(1)若道路的总长度不超过5.5 km,试求中心道长的取值范围.

(2)问中心道长为何值时,道路网的总长度最短?

Answer 1

剖析:以中心道长度为变量,建立道路网的总长度的解析式,然后按求函数的方法求解.

解:设中心道长度为2x km(0＜x＜1).

    (1)由题意得2x+4≤5.5,

    化简,得48x²-40x+7≤0.

    解得≤x≤.

    所以中心道长的取值范围是［,］.

    (2)因为y=2x+4,

    所以(y-2x)²=16(2-2x+x²).

    所以12x²+(4y-32)x+32-y²=0.                ①

    因为0＜x＜1,所以Δ=(4y-32)²-4×12(32-y²)≥0.

    由于y＞0,所以y≥2+2.

    将y_min=2+2代入①得

    12x²+(8+8-32)x+32-(2+2)²=0x=1-.

    答:当道路网长度不超过5.5 km时,中心道长的取值范围为［,］;中心道长为(2-) km时,道路网总长度最短.

讲评:在实际问题中建立函数关系时,首先要选取自变量,自变量选取恰当与否对于解决问题简便与否有直接的关系.