Question

为了迎接2010年在广州举办的亚运会，我市某体校计划举办一次宣传活动，届时将在运动场的一块空地ABCD（如图）上摆放花坛，已知运动场的园林处（P点）有一批鲜花，今要把这批鲜花沿道路PA或PB送到空地ABCD中去，且PA=200 m，PB=300 m，∠APB=60°。
（1）试求A、B两点间的距离；
（2）能否在空地ABCD中确定一条界线，使位于界线一侧的点，沿道路PA送花较近；而另一侧的点，沿道路PB送花较近？如果能，请说出这条界线是一条什么曲线，并求出其方程。

Answer 1

解：（1），
所以，A、B之间的距离为米。
（2）设M是这种界线上的点，则必有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|，
即|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=100，
∴这种界线是以A、B为焦点的双曲线靠近B点的一支，
建立以AB为x轴，AB中点O为原点的直角坐标系，
则曲线为，其中a=50，c=|AB|，
∴c=50，b²=c²-a²=15000，
∴所求曲线方程为(x≥50，y≥0)。