Question

已知某椭圆的焦点是F₁(－4，0)、F₂(4，0)，过点F₂并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且F₁B＋F₂B＝10，椭圆上不同的两点A(x₁，y₁)、C(x₂，y₂)满足条件：F₂A、F₂B、F₂C成等差数列．

(1)求该椭圆的方程；

(2)求弦AC中点的横坐标；

(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y＝kx＋m，求m的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由椭圆的定义及已知得2a＝|F1B|＋|F2B|＝10，a＝5， 　　又c＝4，所以b2＝a2－c2＝9． 　　故该椭圆的方程为＋＝1． 　　(2)由题意可得F2(4，0)，F2B＝，设点A(x1，y1)，C(x2，y2)，则F2A＝，又点A(x1，y1)在椭圆＋＝1上，故有＋＝1，y12＝(25－x12)，代入F2A＝，得F2A＝＝(25－4x1)(或直接利用焦半径公式)，同理，F2C＝(25－4x2)，因为F2A、F2B、F2C成等差数列，所以F2A＋F2C＝2F2B． 　　所以(5x1)＋(5x2)＝2×，x1＋x2＝8．故弦AC的中点的横坐标x＝4． 　　(3)将x＝4代入y＝kx＋m(k≠0)，故点M的坐标为(4，4k＋m)，则kOM＝＝， 　　又kAC＝＝，由＋＝1，＋＝1，两式相减，得，即·＝，·＝，k＝，所以4k＋m＝，点M(4，)．又点M(4，)在椭圆＋＝1内，所以＋＜1．解得＜m＜，即m的取值范围为(，)． 　　解析：本题首先利用椭圆的定义将其方程求出；然后利用已知条件将弦的中点横坐标找出；最后一个问题要注意挖掘隐含条件即相应的弦中点一定在椭圆内．