Question

直角三角形ABC的两条直角边BC=1，AC=

3

．A，B两点分别在x轴、y轴的正半轴（含原点）上滑动，P，Q分别为AC，BC的中点．则

OP

•

OQ

的最大值是（　　）

• A．1
• B．2
• C．

  3

• D．2

  3

Answer 1

分析：设AB的中点为E，则由题意可得OE=

1

2

AB=1，

OE

=

1

2

（

OA

+

OB

），利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义化简

OP

•

OQ

为

OE

•

OC

，故当

OC

=2

OE

时，

OP

•

OQ

最大为 2

OE

2，从而得到结果．

解答：解：设AB的中点为E，则由题意可得OE=

1

2

AB=1，

OE

=

1

2

（

OA

+

OB

），
∵

OP

=

OB

+

BP

=

OB

+

BC

2

，

OQ

=

OA

+

AQ

=

OA

+

AC

2

，
∴

OP

•

OQ

=（

OB

+

BC

2

）•（

OA

+

AC

2

）=

OA

•

OB

+

OB

•

AC

2

+

OA

•

BC

2

+

1

4

BC

•

AC

．
由于OA⊥OB，AC⊥BC，∴

OA

•

OB

=0，

1

4

BC

•

AC

=0，
∴

OP

•

OQ

=

OB

•

AC

2

+

OA

•

BC

2

=

1

2

OB

•(

OC

-

OA

)+

1

2

OA

•(

OC

-

OB

)=

1

2

OB

•

OC

-

1

2

OA

•

OB

+

1

2

OA

•

OC

-

1

2

OA

•

OB

=

1

2

OB

•

OC

+

1

2

OA

•

OC

=

1

2

（

OA

+

OB

）•

OC

=

OE

•

OC

，
故当

OE

与

OC

共线时，即

OC

=2

OE

时，

OP

•

OQ

最大为 2

OE

2=2×1=2，
故选B．

点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于中档题．