Question

设数列的首项，前项和为，且，，成等差数列，其中.

（1）求数列的通项公式；

（2）数列满足：，记数列的前项和为，求及数列的最大项.

 

Answer 1

（1）；（2），最大项是.

【解析】

试题分析：（1）根据题意可知，考虑到当时，，因此可以结合条件消去得到数列的地推公式：当时，，

∴，∴，容易验证当时，上述关系式也成立，从而数列是首项为1，公比为2的等比数列，即有；（2）根据（1）中求得的通项公式，结合条件，因此可以考虑采用裂项相消法来求其前项和：

，利用作差法来考察数列的单调性，可知当时，，即；当时，也有，但；当时，，，即，因此最大项即为.

试题解析：（1）由、、成等差数列知， 1分

当时，，∴，

∴， 4分

当时，由得， 5分

综上知，对任何,都有,又，∴，. 6分

∴数列是首项为1，公比为2的等比数列，∴； 7分

(2)， 10分

， 12分

，

当时，，即；当时，也有，但；当时，，，即，∴数列的的最大项是. 15分

考点：1.数列的通项公式；2.裂项相消法求数列的和；3.数列单调性的判断.