Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是棱形，SA⊥平面ABCD，M，N分别为SA，CD的中点．
（1）证明：直线MN∥平面SBC；
（2）证明：平面SBD⊥平面SAC；
（3）当SA=AD，且∠ABC=60°时，求直线MN与平面ABCD所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）取SB中点E，连接ME、CE，要证明直线MN∥平面SBC，只需证明直线MN平行平面SBC内的直线EC即可；
（2）连接AC、BD，相交于点O，证明平面SBD⊥平面SAC；只需证明平面SBD内的直线BD，垂直平面平面SAC内的两条相交直线SA、AC即可．
（3）SA=AD，∠ABC=60°，连接AN，说明∠ANM是直线MN与平面ABCD所成的角，解三角形AMN即可求直线MN与平面ABCD所成角的大小．

解答：（Ⅰ）证明：如图，取SB中点E，连接ME、CE，
因为M为SA的中点，
所以ME∥AB，且ME=

1

2

AB，
因为N为菱形ABCD边CD的中点，
所以CN∥AB且CN=

1

2

AB，
所以ME∥CN，且ME=CN，
所以四边形MECN是平行四边形，
所以MN∥EC，
又因为EC?平面SBC，ME?平面SBC，
所以直线MN∥平面SBC．（5分）
（Ⅱ）证明：如图，连接AC、BD，相交于点O，
因为SA⊥底面ABCD，
所以SA⊥BD．
因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD．
又SA∩AC=A，
所以BD⊥平面SAC．
又BD?平面SBD，
所以平面SBD⊥平面SAC．（10分）
（Ⅲ）解：如图，连接AN，因为MA⊥平面ABCD，
所以AN是MN在平面ABCD上的射影，
所以∠ANM是直线MN与平面ABCD所成的角．
设SA=AD=DC=2，
由∠ABC=60°，
可知AN=

3

，AM=1，
所以在Rt△AMN中∠ANM=30°，
即直线MN与平面ABCD所成的角为30°．（14分）

点评：本题考查直线与平面所成的角，平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查逻辑思维能力，是中档题．