Question

给出下列命题：①若复平面内复数z=x-

1

2

i 所对应的点都在单位圆x²+y²=1内，则实数x的取值范围是-

3

2

＜x＜

3

2

；②在复平面内，若复数z满足|z-i|+|z+i|=4，则z在复平面内对应的点Z的轨迹是焦点在虚轴上的椭圆；③若z³=1，则复数z一定等于1；④若（x²-1）+（x²+3x+2）i是纯虚数，则实数x=±1，其中，正确命题的序号是

 

Answer 1

分析：①根据若复平面内复数z=x-

1

2

i 所对应的点都在单位圆x²+y²=1内，得到x2+

1

4

＜1，解不等式得到实数x的取值范围是-

3

2

＜x＜

3

2

知本题正确；②在复平面内，z到两个定点的距离之和是一个定值，根据椭圆的定义知z轨迹是焦点在虚轴上的椭圆；
③若z³=1，则复数z一定等于1，得到z=1，或z=-

1

2

±

3

2

i④要满足x²-1=0，x²+3x+2≠0，而当x=-1时，x²+3x+2=0

解答：解：①∵若复平面内复数z=x-

1

2

i 所对应的点都在单位圆x²+y²=1内，
∴x2+

1

4

＜1，
∴x2＜

3

4

∴实数x的取值范围是-

3

2

＜x＜

3

2

∴①正确；
②在复平面内，若复数z满足|z-i|+|z+i|=4，
由复数的几何意义知，z到两个定点的距离之和是一个定值4
且4＜2
∴z在复平面内对应的点Z的轨迹是焦点在虚轴上的椭圆；
∴②正确；
③若z³=1，则复数z一定等于1
当复数z是一个实数时，z=1，
当复数z是一个虚数时，z=-

1

2

±

3

2

i
∴③不正确；
④若（x²-1）+（x²+3x+2）i是纯虚数，
要满足x²-1=0，x²+3x+2≠0
而当x=-1时，x²+3x+2=0
∴④不正确．
故答案为：①②

点评：本题是一个对于复数运算的综合题，包括复数的各种运算和性质，而复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要我们一定要得分的题目．