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给出下列命题:①若复平面内复数z=x-
1
2
i 所对应的点都在单位圆x2+y2=1内,则实数x的取值范围是-
3
2
<x<
3
2
;②在复平面内,若复数z满足|z-i|+|z+i|=4,则z在复平面内对应的点Z的轨迹是焦点在虚轴上的椭圆;③若z3=1,则复数z一定等于1;④若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x=±1,其中,正确命题的序号是
 
分析:①根据若复平面内复数z=x-
1
2
i 所对应的点都在单位圆x2+y2=1内,得到x2+
1
4
<1,解不等式得到实数x的取值范围是-
3
2
<x<
3
2
知本题正确;②在复平面内,z到两个定点的距离之和是一个定值,根据椭圆的定义知z轨迹是焦点在虚轴上的椭圆;
③若z3=1,则复数z一定等于1,得到z=1,或z=-
1
2
±
3
2
i
④要满足x2-1=0,x2+3x+2≠0,而当x=-1时,x2+3x+2=0
解答:解:①∵若复平面内复数z=x-
1
2
i 所对应的点都在单位圆x2+y2=1内,
x2+
1
4
<1,
x2
3
4

∴实数x的取值范围是-
3
2
<x<
3
2

∴①正确;
②在复平面内,若复数z满足|z-i|+|z+i|=4,
由复数的几何意义知,z到两个定点的距离之和是一个定值4
且4<2
∴z在复平面内对应的点Z的轨迹是焦点在虚轴上的椭圆;
∴②正确;
③若z3=1,则复数z一定等于1
当复数z是一个实数时,z=1,
当复数z是一个虚数时,z=-
1
2
±
3
2
i

∴③不正确;
④若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,
要满足x2-1=0,x2+3x+2≠0
而当x=-1时,x2+3x+2=0
∴④不正确.
故答案为:①②
点评:本题是一个对于复数运算的综合题,包括复数的各种运算和性质,而复数的加减乘除运算是比较简单的问题,在高考时有时会出现,若出现则是要我们一定要得分的题目.
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1i
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