Question

下表给出一个“三角形数阵”：

                                 

                                  ，

                                  ，，

                                  ……

    已知每一列的数成等差数列；从第三行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等.记第i行第j列的数为a_ij(i≥j,i、j∈N^*).

(1)求a₈₃;

(2)试写出a_ij关于i、j的表达式；

(3)记第n行的和为A_n，求数列{A_n}的前m项和B_m的表达式.

Answer 1

解：(1)由题知，{a_i1}成等差数列，

    因为a₁₁=,a₂₁=,

    所以，公差d=,a₈₁=+(8-1)·=2.

    又各行成等比数列，公比都相等，a₃₁=,a₃₂=，

    所以，每行的公比是q=.

    故a₈₃=2×()²=.

(2)由(1)知，a_i1=+(i-1)·=,

    所以，a_ij=a_i1·()^j-1=·()^j-1=i()^j+1.

(3)A_n=a_n1［1++()²+…+()^n-1］=［2-()^n-1］=-n()ⁿ⁺¹,

B_m=(1+2+…+m)-(+++…+).

    设T_m=+++…+,                                          ①

    则T_m=+++…+.                                  ②

    由①-②，得

T_m=++…+-=1--=1-，

    所以，B_m=·-(1-)=+-1.