Question

设函数f(x)=

-2x+a

2x+1+b

(a＞0，b＞0)．
（1）当a=b=2时，证明：函数f（x）不是奇函数；
（2）设函数f（x）是奇函数，求a与b的值；
（3）在（2）条件下，判断并证明函数f（x）的单调性，并求不等式f(x)＞-

1

6

的解集．

Answer 1

分析：（1）根据函数奇偶性的定义进行判断函数f（x）不是奇函数；
（2）根据奇函数的性质建立方程即可求a与b的值；
（3）根据函数单调性的定义或性质证明函数f（x）的单调性，并利用单调性的性质解不等式f(x)＞-

1

6

．

解答：解：（1）当a=b=2时，f(x)=

-2x+2

2x+1+2

，
∵f(-1)=

1

2

，f（1）=0，
∴f（-1）≠-f（1），
∴函数f（x）不是奇函数．
（2）由函数f（x）是奇函数，得f（-x）=-f（x），
即

-2-x+a

2-x+1+b

=-

-2x+a

2x+1+b

对定义域内任意实数x都成立，
整理得（2a-b）•2^2x+（2ab-4）•2^x+（2a-b）=0对定义域内任意实数x都成立，
∴

2a-b=0 2ab-4=0

，
解得

a=-1 b=-2

或

a=1 b=2

经检验

a=1 b=2

符合题意．
（3）由（2）可知f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=

1

2

(-1+

2

2x+1

)
易判断f（x）为R上的减函数，
证明：∵2^x+1在定义域R上单调递增且2^x+1＞0，
∴

2

2x+1

在定义域R上单调递减，且

2

2x+1

＞0，
∴f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=

1

2

(-1+

2

2x+1

)在R上单调递减．
由f(1)=-

1

6

，不等式f(x)＞-

1

6

，
等价为f（x）＞f（1），
由f（x）在R上的减函数可得x＜1．
另解：由f(x)＞-

1

6

得，即

1

2

(-1+

2

2x+1

)＞-

1

6

，
解得2^x＜2，∴x＜1．
即不等式的解集为（-∞，-1）．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数单调性的证明和应用，考查函数性质的综合应用．