【题目】如图,已知双曲线C1: ,曲线C2:|y|=|x|+1,P是平面内一点,若存在过点P的直线与C1 , C2都有公共点,则称P为“C1﹣C2型点”
(1)在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);
(2)设直线y=kx与C2有公共点,求证|k|>1,进而证明原点不是“C1﹣C2型点”;
(3)求证:圆x2+y2= 内的点都不是“C1﹣C2型点”
【答案】
(1)解:C1的左焦点为( ),写出的直线方程可以是以下形式:
或 ,其中 .
(2)证明:因为直线y=kx与C2有公共点,
所以方程组 有实数解,因此|kx|=|x|+1,得 .
若原点是“C1﹣C2型点”,则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点.
考虑过原点与C2有公共点的直线x=0或y=kx(|k|>1).
显然直线x=0与C1无公共点.
如果直线为y=kx(|k|>1),则由方程组 ,得 ,矛盾.
所以直线y=kx(|k|>1)与C1也无公共点.
因此原点不是“C1﹣C2型点”.
(3)证明:记圆O: ,取圆O内的一点Q,设有经过Q的直线l与C1,C2都有公共点,显然l不与x轴垂直,
故可设l:y=kx+b.
若|k|≤1,由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=﹣x±1之间,因此圆O也夹在直线y=kx±1与y=﹣kx±1之间,
从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点,矛盾,所以|k|>1.
因为l与C1由公共点,所以方程组 有实数解,
得(1﹣2k2)x2﹣4kbx﹣2b2﹣2=0.
因为|k|>1,所以1﹣2k2≠0,
因此△=(4kb)2﹣4(1﹣2k2)(﹣2b2﹣2)=8(b2+1﹣2k2)≥0,
即b2≥2k2﹣1.
因为圆O的圆心(0,0)到直线l的距离 ,
所以 ,从而 ,得k2<1,与|k|>1矛盾.
因此,圆 内的点不是“C1﹣C2型点”.
【解析】(1)由双曲线方程可知,双曲线的左焦点为( ),当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“C1﹣C2型点”,当斜率存在时,要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与(0,1)连线的斜率;(2)由直线y=kx与C2有公共点联立方程组有实数解得到|k|>1,分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与C1和C2有公共点;(3)由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线y=x±1与y=﹣x±1之间,进而说明当|k|≤1时过圆 内的点且斜率为k的直线与C2无公共点,当|k|>1时,过圆 内的点且斜率为k的直线与C2有公共点,再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k的范围,结果与|k|>1矛盾.从而证明了结论.
【考点精析】解答此题的关键在于理解点到直线的距离公式的相关知识,掌握点到直线的距离为:.
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【题目】某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过10万元时,按销售利润的16%进行奖励;当销售利润超过10万元时,若超出A万元,则超出部分按2log5(A+1)进行奖励.记奖金y(单位:万元),销售利润x(单位:万元)
(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型;
(2)如果业务员老张获得5.6万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元.
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【题目】(本题满分15分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且an是Sn与2的等差中项,数列{bn}中,b1=1,点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上。
(1)求a1和a2的值;
(2)求数列{an},{bn}的通项an和bn;
(3)设cn=an·bn,求数列{cn}的前n项和Tn
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【题目】(2015秋随州期末)甲命题:若随机变量ξ~N(3,σ2),若P(ξ≤2)=0.3,则P(ξ≤4)=0.7.乙命题:随机变量η﹣B(n,p),且Eη=300,Dη=200,则P=,则正确的是( )
A. 甲正确乙错误 B. 甲错误乙正确
C. 甲错误乙也错误 D. 甲正确乙也正确
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【题目】已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试,学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查,先将800人按001,002,…,800进行编号.
(1)如果从第8行第7列的数开始向右读,请你依次写出最先检查的3个人的编号;
(下面摘取了第7行到第9行)
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
(2)抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表:
成绩分为优秀、良好、及格三个等级;横向,纵向分别表示地理成绩与数学成绩,例如:表中数学成绩为良好的共有20+18+4=42.
人数 | 数学 | |||
优秀 | 良好 | 及格 | ||
| 优秀 | 7 | 20 | 5 |
良好 | 9 | 18 | 6 | |
及格 | a | 4 | b |
①若在该样本中,数学成绩优秀率是30%,求a,b的值:
②在地理成绩及格的学生中,已知求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率.
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【题目】已知真命题:“函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f(x+a)﹣b 是奇函数”.
(1)将函数g(x)=x3﹣3x2的图象向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图象对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数g(x)图象对称中心的坐标;
(2)求函数h(x)= 图象对称中心的坐标;
(3)已知命题:“函数 y=f(x)的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a和b,使得函数y=f(x+a)﹣b 是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明).
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【题目】据说伟大的阿基米德逝世后,敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑,在墓碑上刻了一个如图所示的图案,图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等,圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心,圆锥的底面是圆柱的下底面.
(1)试计算出图案中球与圆柱的体积比;
(2)假设球半径.试计算出图案中圆锥的体积和表面积.
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【题目】已知直线.
(1)若直线不经过第四象限,求的取值范围;
(2)若直线交轴负半轴于点,交轴正半轴于点,为坐标原点,设的面积为,求的最小值及此时直线的方程.
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