p{font-size:10.5pt;line-height:150%;margin:0;padding:0;}td{font-size:10.5pt;}已知方向向量为的直线l过点(0.-2)和椭圆C:的焦点.且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.(Ⅰ)求椭圆C的方程,(Ⅱ)是否存在过点E的直线m交椭圆C于点M.N.满足.cot∠MON≠0.若存在.求直线m的方程,若� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（05年福建卷）（12分）

已知方向向量为的直线l过点（0，－2）和椭圆C：的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足，

cot∠MON≠0（O为原点）.若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由.

解析：(Ⅰ)由题意可得直线ι：, ①

过原点垂直ι的方程为 ②

解①②得x=.∵椭圆中心O(0,0)关于直线ι的对称点在椭圆C的右准线上,

∴.∵直线ι过椭圆焦点,∴该焦点坐标为(2,0).

∴a²=6,c=2,b²=2,故椭圆C的方程为. ③

(Ⅱ)设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),当直线m不垂直x轴时,直线m：y=k(x+2)代入③,整理得

(3k²+1)x²+12k²x+12k²-6=0,则x₁+x₂=,x₁x₂=,

|MN|=

点O到直线MN的距离d=.∵cot∠MON,即

∴,∴,

即.整理得.

当直线m垂直x轴时,也满足

故直线m的方程为或y=或x=-2.

经检验上述直线均满足.

所在所求直线方程为或y=或x=-2..

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