Question

（2010•天津模拟）为了保护环境，发展低碳经济，2010年全国“两会”使用的记录纸、笔记本、环保袋、手提袋等均是以石灰石为原料生产的石头纸用品，已知某单位每月石头纸用品的产量最少为300吨，最多为500吨，每月成本y（元）与每月产量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y=

1

2

x²-200x+80000，若要使每吨的平均成本最低，则该单位每月产量应为

400

吨．

Answer 1

分析：先写出每吨的平均成本关于产量x的函数解析式即f（x）=

y

x

，注意定义域为[300，500]，再利用均值定理求函数的最小值，并求出取最小值时自变量的值即可

解答：解：∵月成本y（元）与每月产量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y=

1

2

x²-200x+80000
∴每吨的平均成本f（x）=

y

x

=

1 2 x2-200x+80000

x

=

1

2

x+

80000

x

-200≥2

1 2 x× 80000 x

-200=200  （300≤x≤500）
（当且仅当

1

2

x=

80000

x

，即x=400时取等号）
∴要使每吨的平均成本最低，则该单位每月产量应为400吨
故答案为 400

点评：本题考查了将实际问题转化为数学问题的能力，利用均值定理求函数的最值的方法，特别注意等号成立的条件