Question

（几何证明选讲）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．△ABC中，AB＜AC，AD、AE分别是BC边上的高和中线，且∠BAD=∠EAC．证明∠BAC是直角．

Answer 1

证明：如图，取AC中点F，连EF、DF，EF为三角形△ABC得中位线，故有EF∥AB，∠AEF=∠EAB．①
又由∠BAD=∠EAC，所以∠EAB=∠DAC．②
因AD是BC边上的高，则△ADC是直角三角形，则DF=AF．于是∠ADF=∠DAC．…③
联合①、②，得∠ADF=∠AEF，由此，得A、D、E、F四点共圆．
于是，∠AFE=180°-∠ADE=90°．因∠BAC+∠AFE=180°，故∠BAC=90°
最后一步，也可由：AD⊥BC得EF⊥ACC从而AB⊥AC，得∠BAC=90°．
又取AC的中点F，连EF，也可证得∠BAC=90°．
分析：取AC中点F，连EF、DF，由三角形的中位线定理，易得EF∥AB，结合∠BAD=∠EAC易得∠EAB=∠DAC，∠ADF=∠DAC，进而得到A、D、E、F四点共圆，由圆内接四边形的性质得到EF⊥AC，进而AB⊥AC，即得到结论．
点评：本题考查的知识点是四点共圆的判定与性质，其中添加适当的辅助线，并根据已知条件得到A、D、E、F四点共圆，是解答本题的关键．