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(几何证明选讲)解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.△ABC中,AB<AC,AD、AE分别是BC边上的高和中线,且∠BAD=∠EAC.证明∠BAC是直角.

证明:如图,取AC中点F,连EF、DF,EF为三角形△ABC得中位线,故有EF∥AB,∠AEF=∠EAB.①
又由∠BAD=∠EAC,所以∠EAB=∠DAC.②
因AD是BC边上的高,则△ADC是直角三角形,则DF=AF.于是∠ADF=∠DAC.…③
联合①、②,得∠ADF=∠AEF,由此,得A、D、E、F四点共圆.
于是,∠AFE=180°-∠ADE=90°.因∠BAC+∠AFE=180°,故∠BAC=90°
最后一步,也可由:AD⊥BC得EF⊥ACC从而AB⊥AC,得∠BAC=90°.
又取AC的中点F,连EF,也可证得∠BAC=90°.
分析:取AC中点F,连EF、DF,由三角形的中位线定理,易得EF∥AB,结合∠BAD=∠EAC易得∠EAB=∠DAC,∠ADF=∠DAC,进而得到A、D、E、F四点共圆,由圆内接四边形的性质得到EF⊥AC,进而AB⊥AC,即得到结论.
点评:本题考查的知识点是四点共圆的判定与性质,其中添加适当的辅助线,并根据已知条件得到A、D、E、F四点共圆,是解答本题的关键.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

附加题 选做题在A、B、C、D四小题中只能选做两小题,每小题10分,共计20分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选做题(几何证明选讲)
如图,从圆O外一点P作圆O的两条切线,切点分别为A,B,AB与OP交于点M,设CD为过点M且不过圆心O的一条弦,
求证:O、C、P、D四点共圆.

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科目:高中数学 来源: 题型:

选做题在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.
请在答卷纸指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4-1:几何证明选讲如图,AD是∠BAC的平分线,⊙O过点A且与BC边相切于点D,与AB,AC分别交于E,F,求证:EF∥BC.
B.选修4-2:矩阵与变换
已知a,b∈R,若矩阵M=[
-1
b
a
3
]所对应的变换把直线l:2x-y=3变换为自身,求a,b的值.
C.选修4-4:坐标系与参数方程将参数方程
x=2(t+
1
t
)
y=4(t-
1
t
)
t为参数)化为普通方程.
D.选修4-5:已知a,b是正数,求证(a+
1
b
)(2b+
1
2a
)≥92.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(几何证明选讲)解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.△ABC中,AB<AC,AD、AE分别是BC边上的高和中线,且∠BAD=∠EAC.证明∠BAC是直角.

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科目:高中数学 来源:2011年江苏省高考数学预测试卷(3)(解析版) 题型:解答题

(几何证明选讲)解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.△ABC中,AB<AC,AD、AE分别是BC边上的高和中线,且∠BAD=∠EAC.证明∠BAC是直角.

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