Question

（本小题满分15分）已知椭圆经过点，其离心率为.

  (1) 求椭圆的方程；

  (2)设直线与椭圆相交于两点,以线段为邻边作平行四边形，其中顶点在椭圆上，为坐标原点.求到直线的距离的最小值.

 

Answer 1

【答案】

(1) ； (2)点到直线的距离的最小值为.

【解析】本试题主要是考查了椭圆的方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的总额和运用。

（1）利用椭圆的几何性质可知参数a,b,c的关系式，进而求解得到。

（2）设出直线方程与椭圆方程联立方程组，得到关于x的一元二次方程，然后结合韦达定理和点到直线的距离公式求解得到最小值。

(1) ----------------------------（4分）

 (2)当直线有斜率时,设:,由消去,得

,

  ㈠

设三点的坐标分别为,则以线段为邻边作平行四边形,,----------------------------------(6分)

 

  由于点在椭圆上，所以,从而，

化简得   ,经检验满足㈠式

  又点到直线的距离为

  当且仅当时等号成立.-------------------------------（10分）

  当直线无斜率时,由对称性知,点一定在轴上,从而点为或,直线

  为,所以点到直线的距离为1.

  综上,点到直线的距离的最小值为.--------------------------（12分）